Get Elementare Methoden der Kombinatorik: Abzählen — Aufzählen — PDF

By Dr. Rainer Danckwerts, Dr. Dankwart Vogel, Klaus Bovermann, Prof. Dr. Walter Deuber, Prof. Roland Stowasser

ISBN-10: 3322966844

ISBN-13: 9783322966841

ISBN-10: 3519025299

ISBN-13: 9783519025290

Die Kombinatorik als eigenstiindige mathematische Disziplin ist recht jung. Anders als die Geometrie, die im Altertum fiir die Landvermessung im Niltal lebensnot wendig conflict, erscheinen eigenstiindige kombinatorische Untersuchungen erst viel spiiter. Euler und Bernoulli liisten mittels analytischer Methoden Abziihlprobleme (z.B. Geldwechselprobleme), die in natiirlicher Weise in der damals entstehenden Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkamen. In der ersten Hiilfte unseres Jahrhunderts wurden verstiirkt algebraische und gra phentheoretische Methoden entwickelt. So ziihlte z.B. Polya die Anzahl der Alko hol-Molekiile. Dank dieser neuen Ansiitze verschoben sich die Untersuchungen weg von der reinen Abziihlung von Objekten. Vielmehr weitete sich die Kombinatorik zu der Untersuchung der endlichen Strukturen aus. Die Existenz gewisser endlicher Konfigurationen battle von Interesse, wie z.B. die von Gewinnstrategien bei Nim Spielen. Dabei traten zusiitzlich Auflistungs- und Optimierungsprobleme auf. Das challenge, einen kiirzesten Weg vom commence zum Ziel durch ein Netzwerk zu finden, ist ein typisches Optimierungsbeispiel. Die bei diesen Problemen anfallenden groBen Datenmengen konnten erst mit Hilfe von Rechnern richtig verarbeitet werden. Der Einsatz von Rechenanlagen er miiglichte aber nicht nur die Handhabung umfiinglichen Datenmaterials. Er erfor derte vielmehr ein neues Verstiindnis der "Liisung" eines difficulties. Statt einer Forme! battle nun ein Algorithmus gefragt.

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Summiert man im Pascalschen Dreieck die in einer Diagonale stehenden Zahlen his zu einer hestimmten Stelle auf, etwa die auf Seite 33 in der dritten Diagonalen stehenden Zahlen 1, 3, 6, 10, 15 his 21, so erhiilt man wieder eine Pascalzahl, im Beispiel 56. Man formuliere diese Eigenschaft und heweise sie. 18. Die Forme! aus Aufgahe 12 ist ein Spezialfall der Beziehung Man interpretiere diese Forme! im Pascalschen Dreieck und heweise sie. 19. Auf wie viele Arten lassen sich die Felder eines 4 x 4- Brettes (Figur) fiirben, wenn a) nur die Farhen schwarz und weiB zur Verfiigung stehen, b) 2 Felder schwarz, 4 weiB und 10 rot gefiirbt werden?

B. Ubergang von der Schranke 106 zur Schranke 10 36 , verdoppelt lediglich die pro Zahl im Mittel aufzuwendende Rechenzeit. ) Testet man dagegen eine einzelne Zahl k auf Primzahleigenschaft, indem man sie nacheinander durch jede der Zahlen bis /k zu dividieren versucht, so wurde ein Computer, der eine Million Testdivisionen pro Sekunde ausfiihren kann, bei einer Primzahl der Gr6Benordnung 10 40 bereits mehr als eine Million Jahre ununterbrochen rechnen. Bei einer Primzahl nahe 10 50 ubersteigt die aufzuwendende Rechenzeit schon das Alter des Universums (einige zehn Milliarden Jahre).

Oder 6 Richtige. B. die Anzahl der Scheine mit 2 Richtigen. Wie liiBt sich die Gesamtzahl der Lottoscheine, also die Zahl L(6,49), aus den Zahlen R(O), R(1), ... , R(6) gewinnen? b) Wie liiBt sich das Resultat von a) verallgemeinern? a) Wie viele Miiglichkeiten hat man, aus den Zahlen 1, 2, ... , 100 zwe1 so auszuwiihlen, daB ihre Summe gerade (ungerade) ist? b) Man begriinde ohne Rechnung mit einer kombinatorischen Uberlegung die Forme! a) Wenn man einen c) Beweise dieselbe Formel unter Verwendung Pascalzahlen.

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by James
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